Question

10．如图，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M，N两点，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得出“∠MBO=∠NCO=45°，OB=OC，∠BOC=90”，通过角的计算可得出∠MOB=∠NOC，由此即可证出△MOB≌△NOC，同理可得出△AOM≌△BON，从而可得知S_阴影=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}，再根据几何概率的计算方法即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，点O是对角线的交点，
∴∠MBO=∠NCO=45°，OB=OC，∠BOC=90°，
∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠NOC=90°，
∴∠MOB=∠NOC．
在△MOB和△NOC中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠MOB=∠NOC}\\{OB=OC}\\{∠MBO=∠NCO}\end{array}\right.$，
∴△MOB≌△NOC（ASA）．
同理可得：△AOM≌△BON．
∴S_阴影=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}．
∴蚂蚁停留在阴影区域的概率P=$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了几何概率．正方形的性质以及全等三角形的判断及性质，解题的关键是找出S_阴影=S_△BOC=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质和角的计算找出相等的边角关系，再利用全等三角形的判定定理证出三角形全等是关键．