Question

1．如图，△ABC中，∠A=90°，O为其内心（角平分线交点），射线BO、CO交AC、AB于点D、E，连接DE，点F为DE的中点，连接OF，求证：OF⊥BC．

Answer 1

分析 如图，延长OF到M，使得OF=FM，延长FO交BC于点H，在BC上截取BF=BE，CG=CD，连接OF、OG、EM、DM，只要证明△MEO≌△GOF，得到∠MOE=∠OFG，由∠MOE+∠FOH=90°推出∠OFH+∠FOH=90°，延长即可解决问题．

解答 证明：如图，延长OF到M，使得OF=FM，延长FO交BC于点H，在BC上截取BF=BE，CG=CD，连接OF、OG、EM、DM．

∵FE=FD，OF=FM，
∴四边形EMDO是平行四边形，
∴EM∥OD，EM=OD，
∵∠A=90°，O是内心，
∴∠MEO=∠DOC=45°，
在△BOE和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OB}\\{∠OBE=∠OBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△OBE≌△OBF，
∴OE=OF，同理OD=OG=EM，
∴∠EOB=∠DOC=∠BOF=∠COG=45°，
∴∠FOG=45°=∠MEO，
在△MEO和△GOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=OG}\\{∠MEO=∠GOF}\\{EO=OF}\end{array}\right.$，
∴△MEO≌△GOF，
∴∠MOE=∠OFG，
∵∠MOE+∠FOH=90°，
∴∠FOH+∠OFH=90°，
∴∠OHF=90°，
∴OF⊥BC．

点评 本题考查三角形内切圆与内心，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．