Question

6．在小学认识三角形的基础上我们来继续学习三角形．三角形可用符号“△”表示．例如图1中的三角形可记作“△ABC”；在一个三角形中，如果有两个角相等，我们新定义这个三角形为等角三角形．
（1）如图1，∠ABC的角平分线交AC于D，DE∥BC交AB于E，
①请在图1中依题意补全图形；
②判断△EBD是不是等角三角形；
（2）如图2，AF是∠GAC的角平分线，AF∥BC．判断△ABC是不是等角三角形．
（3）如图3，BM，CM 分别是∠ABC 和∠ACB的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据题意画出图形即可；
②根据角平分线定义可得∠ABD=∠DBC，根据平行线的性质可得∠EDB=∠DBC，进而可得∠EBD=∠EDB，从而可得△EBD是等角三角形；
（2）根据平行线的性质可得∠1=∠B，∠2=∠C，再根据角平分线的性质可得∠1=∠2，进而可得结论；
（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，利用平行线的性质和角平分线定义进行证明即可．

解答 解：（1）①如图1．
②△EBD是等角三角形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴△EBD是等角三角形；

（2）△ABC是等角三角形．
理由如下：如图2，∵AF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵AF是∠GAC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等角三角形．

（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H．
出现两个等角三角形分别是：△GBM和△HMC．
证明：如图3，∵GH∥BC，
∴∠1=∠3，
∵BM是∠ABC角平分线，
∴∠GBM=∠3，
∴∠1=∠GBM，
所以△GBM是等角三角形．

点评 此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角、同位角相等．