Question

16．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，求证：CE•CF=2BE•DF．

Answer 1

分析 连接AC，过F作FG⊥AC于G，EH⊥AC于H，于是得到FAG=∠EAB，由于∠AGF=∠B=90°，推出△FAG∽△EAB，同理△FDA∽△EHA，根据相似三角形的性质得到GF•HE=DF•BE，由于GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF，HE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即可得到结论．

解答 证明：连接AC，过F作FG⊥AC于G，EH⊥AC于H，
∴∠FAG+∠HAE=45°，∠EAB+∠HAE=45°，
∴∠FAG=∠EAB，
∵∠AGF=∠B=90°，
∴△FAG∽△EAB，
同理△FDA∽△EHA，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{AF}{AE}$，$\frac{DF}{HE}=\frac{AF}{AE}$，
∴$\frac{GF}{BE}=\frac{DF}{HE}$，
∴GF•HE=DF•BE，
∵GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF，HE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}CF•\frac{\sqrt{2}}{2}CE$=DF•BE，
∴CE•CF=2BE•DF．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定及其性质为解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．