Question

13．函数y=$\frac{1}{x}$和y=$\frac{4}{x}$在第一象限内的图象如图所示，点P是y=$\frac{4}{x}$的一个动点，CO⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PD、PC交y=$\frac{1}{x}$图象于点B，A．下列结论：
①△ODB与△OAC面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA=$\frac{1}{3}$PA．
其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 由于点P在y=$\frac{4}{x}$上，点A、B在y=$\frac{1}{x}$上，根据反比例函数系数k的几何意义，对各结论进行判断．

解答 解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为$\frac{1}{2}$．
②PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB．
③四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化．
④∵S_△OPA：S_△OAC=$\frac{3}{2}$：$\frac{1}{2}$=3：1，
∴（$\frac{1}{2}$PA•OC）：（$\frac{1}{2}$AC•OC）=3：1，
∴PA：AC=3，
∴CA=$\frac{1}{3}$PA；正确；
故一定正确的是①②④．
故选C．

点评 此题考查了反比例函数的几何意义、三角形的面积以及四边形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．