Question

【题目】如图，在中，，，平分，交边于点．

（1）如图1，过点作于，若已知，求的度数；

图1

（2）如图2，过点作于，若恰好又平分，求的度数；

图2

（3）如图3，平分的外角，交的延长线于点，作于，设，试求的值．（用含有的代数式表示）

图3

（4）如图4，在图3的基础上分别作和的角平分线，交于点，作于，设，试直接写出的值．（用含有的代数式表示）

图4

Answer 1

【答案】（1）10°（2）70°（3）=-30°（4）=

【解析】

（1）根据三角形的内角和与角平分线的性质得到∠EAC=50°，再根据直角三角形两锐角互余得到∠DAC=40°，再根据角度的和差关系即可求解；

（2）设=x,根据直角三角形两锐角互余，表示出∠DAC，再表示出∠BAC，根据三角形内角和得到方程即可求出x;

（3）分别用含n的式子表示出，，即可得到；

（4）在（3）的基础上再表示出，，即可得到．

（1）∵，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°

∵平分，

∴∠EAC==50°

∵

∴∠DAC=90°-∠C =40°

∴=∠EAC-∠DAC=10°；

（2）设=x,

∵

∴∠DAC=90°-∠C =90°-x

∵平分，

∴=2∠DAC=180°-2x

∵平分，

∴=2=360°-4x

在△ABC中，+∠B+∠C=180°

∴360°-4x+30°+x=180°

解得x=70°

∴=70°；

（3）∵，

∴∠BAC=180°-∠B-=150°-

∵平分，

∴∠EAC==

∴∠AEC=180°-∠EAC -=

∴∠DEF=∠AEC=

∵

∴=90°-∠DEF =-15°

∵

∴∠BCG=180°-∠ACB=180°-

∵平分

∴∠DCF==

∴=180°-∠EAC-∠ACF=180°-∠EAC-∠ACB-∠DCF =15°

∴=-15°-15°=-30°；

（4）=

理由如下：

∵

由（3）可得∠BAE =∠EAC==

∵AF1平分∠BAE

∴∠F1AE=∠BAE =

由（3）同理可得+=

又

∴+90°=++n

∴=

∵CF1平分

∴∠BCF1=∠BCF∠BCG =

∴=180°-∠F1AC-∠ACF1=180°-∠F1AE-∠EAC-∠ACB-∠BCF1=180°-()-()--()=22.5°

∴=-22.5°=

故=．