Question

7．如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；
（3）若抛物线的顶点为N，过P作PQ∥y轴与抛物线交于点Q．连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据等腰三角形的定义，分OP=OC，PC=OC，OP=PC三种情况即可求得P的坐标；
（3）设点P为（x，x+2）Q（x，-x²+3x+4），则PQ=-x²+2x+2，根据PQNM是菱形，则PQ=MN，即可求得PM的长，判断是否成立，从而确定；根据全等三角形的判定与性质，可得NQ=MP，根据NH=MG，可得$\frac{25}{4}$-（-x²+3x+4）=x+2-$\frac{7}{2}$，根据解方程，可确定P的坐标．

解答 解：（1）∵B（-1，0）E（0，4）C（4，0）
设解析式是y=ax²+bx+c
可得 $\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ c=4\\ 16a+4b+c=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=3\\ c=4\end{array}\right.$
∴y=-x²+3x+4；
（2）∵点A坐标是（-2，0），点D坐标是（0，2）
直线AD的解析式是y=x+2，
设点P坐标是（x，x+2），
当OP=OC时，x²+（x+2）²=16 解得$x=1±\sqrt{7}$（$x=1-\sqrt{7}$不符合，舍去）此时点P（$1+\sqrt{7}，3+\sqrt{7}$），
当PC=OC时，（x+2）²+（4-x）²=16方程无解，
当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，
∴点P横坐标是2，得点P坐标是（2，4），
∴当△POC是等腰三角形时，点P坐标是（$1+\sqrt{7}，3+\sqrt{7}$）或（2，4）； 
（3）点M坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$）N坐标是（$\frac{3}{2}，\frac{25}{4}$）
∴MN=$\frac{11}{4}$，
设点P 为（x，x+2）Q（x，-x²+3x+4），则PQ=-x²+2x+2，
①若PQNM是菱形，则PQ=MN，可得x₁=0.5，x₂=1.5．
当x₂=1.5时，点P与点M重合；当x₁=0.5时，可求得PM=$\sqrt{2}$，
所以菱形不存在．
②能成为等腰梯形，如图，QH⊥MN于点H，作PJ⊥MN于点J，
△NHQ≌△MJP，
∴NQ=MP．
∴四边形NMPQ是等腰梯形．
由NH=MJ，
得$\frac{25}{4}$-（-x²+3x+4）=x+2-$\frac{7}{2}$，
解得：x=2.5，
此时点P的坐标是（2.5，4.5）．

点评 本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键利用等腰三角形的定义得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏；解（3）的关键是利用菱形的判定及等腰梯形的判定．