题目内容
14．
△ABC和△DEF都是边长为6cm的等边三角形，且A、D、B、F在同一直线上，连接CD、BF．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；
（2）若AD=2cm，△ABC沿着AF的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABC运动的时间为t秒．
（a）当t为何值时，平行四边形BCDE是菱形？说明理由；
（b）平行四边形BCDE有可能是矩形吗？若有可能，求出t的值，并求出矩形的面积；若不可能，说明理由．
分析 （1）由△ABC和△DEF是两个边长为6cm的等边三角形，得出BC=DF，由∠ACD=∠FDE=60°，得出BC∥DE，证出四边形BCDE是平行四边形；
（2）（a）根据有一组邻边相等的四边形是菱形即可得到结论；
（b）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得到结论；由勾股定理求出BE，即可求出矩形的面积．
解答 （1）证明：∵△ABC和△DEF是两个边长为6cm的等边三角形，
∴BC=DE，∠ABC=∠FDE=60°，
∴BC∥DE，
∴四边形BCDE是平行四边形；
（2）解：（a）当t=2秒时，?BCDE是菱形，
此时A与D重合，
∴CD=DE，
∴?ADEC是菱形；
（b）若平行四边形BCDE是矩形，则∠CDE=90°，如图所示：
∴∠CDB=90°-60°=30°
同理∠DCA=30°=∠CDB，
∴AC=AD，
同理FB=EF，
∴F与A重合，
∴t=（6+2）÷1=8秒，
∴当t=8秒时，平行四边形BCDE是矩形；
由勾股定理得；BE=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴矩形BCDE的面积=BC•BE=6×6$\sqrt{3}$=36$\sqrt{3}$．
点评 本题是四边形综合题目，考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
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