Question

3．已知关于x的方程2x²-（2m+4）x+4m=0．
（1）求证：不论m取何实数，方程总有两个实数根；
（2）等腰△ABC的一边长b=3，另两边长a，c恰好是此方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；
（2）注意：分b=c，b=a两种情况．

解答 解：∵△=[-（2m+4）]²-4×2×4m
=4m²+16m+16-32m
=4m²-16m+16
=4（m-2）²≥0，
∴不论m取何实数，方程总有两个实数根；
（2）①当b=c时，则△=0，
即（k-2）²=0，
∴k=2，
方程可化为x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴△ABC的周长=a+b+c=3+2+2=7；
②若b=3是等腰三角形的一腰长，
即b=a=3时，
∵2x²-（2m+4）x+4m=0．
∴2（x-2）（x-m）=0，
∴x=2或x=m，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
∴m=b=3，
∴c=2，
∴△ABC的周长=a+b+c=3+3+2=8．
综上所述，△ABC的周长为7或8．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据根的判别式判断方程的根的情况是基础，等腰三角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍是解题的关键．