Question

2．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向25海里的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时40海里的速度航行半小时到达C处，再向南偏东53°方向航行，同时捕鱼船向正北方向低速航行．若两船航速不变，并且在D处会合，求CD两点的距离和捕鱼船的速度（结果保留整数）．
（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.7，sin53°≈$\frac{4}{5}$，cos53°≈$\frac{3}{5}$，tan53°≈$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 首先过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DF⊥CG于点F，在Rt△CBG中，由题意知∠CBG=30°，可求得CG与BG的长，易得四边形ADFG是矩形，然后在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=53°，可求得CD的长，继而求得AD的长，则可求得答案．

解答 解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，过点D作DF⊥CG于点F，
在Rt△CBG中，由题意知∠CBG=30°，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×40×$\frac{1}{2}$=10（海里），BG=BC•cos30°=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$≈17（海里），
∵∠DAG=90°，
∴四边形ADFG是矩形，
∴DF=AG=AB-BG=25-17=8（海里），
在Rt△CDF中，∠CFD=90°，
∵∠DCF=53°，
∴CD=$\frac{DF}{sin53°}$≈10（海里）．CF=$\frac{DF}{tan53°}$≈6（海里），
∴AD=FG=CG-CF=10-6=4（海里），
∵渔政船航行时间为：$\frac{1}{2}$+$\frac{10}{40}$=$\frac{3}{4}$（小时），
∴捕鱼船的速度为：4÷$\frac{3}{4}$≈5（海里/时）．
答：CD两点的距离约为10海里，捕鱼船的速度约为5海里/时．

点评 此题考查了方向角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．