Question

7．如图，在△MNQ中QM=QN，∠Q=36°，作∠QMN的平分线ND交QM于D点，求证：MN=QD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$QM．

Answer 1

分析 先根据三角形内角和以及角平分线的定义，得出∠NDM=72°=∠M，DQ=DN，进而得到MN=DQ，再根据∠MND=∠Q=36°，∠DMN=∠NMQ，判定△DMN∽△NMQ，进而得出点D是QM的黄金分割点，即可得到MN=QD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$QM．

解答 证明：∵△MNQ中，QM=QN，∠Q=36°，
∴∠M=∠QNM=72°，
∵DN平分∠MNQ，
∴∠DNQ=36°=∠Q，
∴∠NDM=72°=∠M，DQ=DN，
∴DN=MN，
∴MN=DQ，
又∵∠MND=∠Q=36°，∠DMN=∠NMQ，
∴△DMN∽△NMQ，
∴$\frac{DM}{NM}$=$\frac{NM}{QM}$，即$\frac{DM}{DQ}$=$\frac{DQ}{QM}$，
∴点D是QM的黄金分割点，
∴MN=QD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$QM．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质，黄金分割以及相似三角形的判定与性质的运用，解题时注意：若点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，则点C叫做线段AB的黄金分割点．