Question

8．在求1+4+4²+4³+4⁴+4⁵+4⁶+4⁷的值时，小聪发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的4倍，于是他设：x=1+4+4²+4³+4⁴+4⁵+4⁶+4⁷①，然后在①式的两边都乘以4，得：4x=4+4²+4³+4⁴+4⁵+4⁶+4⁷+4⁸②，②-①得：4x-x=4⁸-1，即3x=4⁸-1，从而得到x=$\frac{{{4^8}-1}}{3}$．
探索：若把“4”换成字母a（a≠0且a≠1），则计算1+a+a²+a³+a⁴+…+a²⁰¹⁷=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$．

Answer 1

分析 依照题意设设S=1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁷值，然后在其两边同乘以a得aS=a+a²+a³+…+a²⁰¹⁷+a²⁰¹⁸，再求出两式的差变形即可．

解答 解：设S=1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁷…①
∵a≠0
∴aS=a+a²+a³+…+a²⁰¹⁷+a²⁰¹⁸…②
②-①得：（a-1）S=a²⁰¹⁸-1
∵a≠1
∴S=$\frac{{a}^{2018}-1}{a-1}$
即：1+a+a²+a³+…+a²⁰¹⁷=$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$，
故答案为：$\frac{{a}^{2017}-1}{a-1}$．

点评 本题考查了数字的变化规律、有理数的混合运算等知识点，解题的关键是理解题目中所体现的一种解题方法与思路，培养学生的自学能力．