Question

2．如图，已知AE=DE=5，AB=CD，BC=4，∠E=60°，∠A=∠D=90°，那么五边形ABCDE的面积是（　　）

• A． 6$\sqrt{2}$
• B． 6$\sqrt{3}$
• C． 7$\sqrt{2}$
• D． 7$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作辅助线，将原五边形拓展为△EFG，证明△ABE≌△DCE（SAS），得△FEG是等边三角形，AF=DG=x，则FB=CG=2x，根据FG=EF列式可求得x的值，利用三角函数依次求FG、AB、BH的长，利用：S_{五边形ABCDE}=S_△EFG-2S_△ABF代入计算即可．

解答 解：连接BE、CE，作直线BC，交ED的延长线于G，交EA的延长线于F，过E作EH⊥BC于H，
在△ABE和△DCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠EAB=∠EDC=90°}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB=EC，∠AEB=∠DEC，
∵EH⊥BC，
∴EH平分∠BEC，
∴EF平分∠FEG，
∴△FEG是等腰三角形，
∵∠AED=60°，
∴△FEG是等边三角形，
∴EF=EG，
∴EF-AE=EG-ED，
即AF=DG，
设AF=DG=x，则FB=CG=2x，
由FG=EF得：4+4x=5+x，
x=$\frac{1}{3}$，
∴FG=4+4×$\frac{1}{3}$=$\frac{16}{3}$，
在Rt△EHG中，tan60°=$\frac{EH}{GH}=\sqrt{3}$，
∴EH=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
Rt△ABF中，AB=tan60°x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴S_{五边形ABCDE}=S_△EFG-2S_△ABF=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$$\sqrt{3}$=7$\sqrt{3}$；
故选D．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形、等边三角形的性质和判定、三角函数以及不规则图形面积的求法，正确做出辅助线是本题的关键，熟练掌握等边三角形的性质和判定是突破口，与直角三角形30°角的性质和特殊的三角函数相结合，使问题得以解决．