Question

4．如图，射线OM⊥ON于点O，正方形ABCD的顶点A，B分布在射线OM，ON上，且正方形的边长为2，过点C作CE⊥ON于点E，并连结AC
（1）求证：△AOB≌△BEC；
（2）当OB长为多少时，四边形OECA是矩形？

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABO=∠CBE=90°，由角的互余关系证出∠BAO=∠CBE，由AAS证明△AOB≌△BEC即可；
（2）由全等三角形的性质得出OB=CE，由矩形的性质得出OA=CE，得出OA=OB，△AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得出OB=OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A=$\sqrt{2}$．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠CBE=90°，
∵OM⊥ON，CE⊥ON，
∴∠AOB=∠BEC=90°，
∴∠ABO=∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠CBE，
在△AOB和△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BEC}&{\;}\\{∠BAO=∠CBE}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BEC（AAS）；
（2）解：∵△AOB≌△BEC，
∴OB=CE，
若四边形OECA是矩形，
则OA=CE，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OB=OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{\;}2$×2=$\sqrt{2}$，
即OB=$\sqrt{2}$时，四边形OECA是矩形．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．