Question

11．如图，点A，B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，点A（m，2），点B的横坐标是4，过点B作BC⊥x轴于点C，连接AC，AB．
（1）用含m的式子表示BC，则BC=$\frac{1}{2}$m；
（2）当0＜m＜4时，求△ABC的面积S（用含m的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，当△ABC的面积S最大时，求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式．

Answer 1

分析 （1）把A坐标代入y=$\frac{k}{x}$求得k=2m，然后把x=4代入求得B的纵坐标，从而求得BC；
（2）根据三角形面积公式即可求得；
（3）把S_△ABC=-$\frac{1}{4}$m²+m化成顶点式求得m的值，即可求得解析式．

解答 解：（1）∵点A（m，2）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k=2m，
∴y=$\frac{2m}{x}$，
∵点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，点B的横坐标是4，过点B作BC⊥x轴于点C，
∴y=$\frac{2m}{4}$=$\frac{1}{2}$m，
∴BC=$\frac{1}{2}$m；
故答案为$\frac{1}{2}$m．
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$m•（4-m）=-$\frac{1}{4}$m²+m（0＜m＜4）；
（3）由S_△ABC=-$\frac{1}{4}$m²+m=-$\frac{1}{4}$（m-2）²+1，
∴当m=2时，△ABC的面积S最大，
∴当△ABC的面积S最大时，求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式为y=$\frac{4}{x}$．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k的几何意义以及反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．