Question

1．已知C、D是线段AB的两个黄金分割点，AB=2，则CD的长是2$\sqrt{5}$-4．（用含根号的式子表示）

Answer 1

分析 AC＞BC，AD＜BD，根据黄金分割的定义先计算出AC=BD=$\sqrt{5}$-1，再计算出AD，然后利用CD=AC-AD进行计算．

解答 解：如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，设AC＞BC，AD＜BD，
根据题意得AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×2=$\sqrt{5}$-1，
BD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×2=$\sqrt{5}$-1，
则AD=AB-BD=2-（$\sqrt{5}$-1）=3-$\sqrt{5}$，
所以CD=AC-AD=$\sqrt{5}$-1-（3-$\sqrt{5}$）=2$\sqrt{5}$-4．
故答案为2$\sqrt{5}$-4．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．