Question

5．在菱形ABCD中，点O是对角线的交点，E点是边CD的中点，点F在BC延长线上，且CF=$\frac{1}{2}$BC．
（1）求证：四边形OCEF是平行四边形；
（2）连接DF，如果DF⊥CF，请你写出图中所有的等边三角形．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质得BO=DO，易得OE是△BDC的中位线，利用中位线的性质得OE∥BC且OE=12BC，利用平行四边形的判定得出结论；
（2）由直角三角形的性质，斜边中线等于斜边的一半得EF=12CD，易得△ECF为等边三角形，利用（1）的结论，易得△OCE为等边三角形，利用等边三角形的性质，得∠ABC=60°，利用判定定理得△ABC与△ADC为等边三角形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，
∵E点是边CD的中点，
∴OE是△BDC的中位线，
∴OE∥BC且OE=$\frac{1}{2}$BC，
∵CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴OE=CF，
∵OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形；

（2）解：∵DF⊥CF，E点是边CD的中点，
∴EF=$\frac{1}{2}CD$，
∵CE=$\frac{1}{2}CD$，
CF=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$CD，
∴△ECF为等边三角形；
∵四边形OCFE是平行四边形，
∴OC=EF=CE=CF=OE，
∴△OCE为等边三角形；
∵△ECF为等边三角形，
∴∠ECF=60°，
∴∠ABC=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴△ABC为等边三角形；
同理得△ADC为等边三角形；
∴图中的等边三角形有：△OCE，△ECF，△ABC，△ADC

点评 本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，等边三角形的判定及性质，综合运用各定理是解答此题的关键．