Question

13．如图，△ABC中，∠ABC=90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD、AE．
（1）求证：△ABC∽△BGA；
（2）若AF=5，AB=8，求FG的长；
（3）当AB=BC，∠DBC=30°时，求$\frac{DE}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜边上的中线性质得出BF=AF，得出∠FAB=∠FBA，再由∠ABC=∠AGB=90°，即可证出△ABC∽△BGA；
（2）先求出AC、BF，再由三角形相似得出比例式$\frac{AB}{AC}=\frac{BG}{AB}$，求出BG，即可得出FG；
（3）延长ED交BC于H，则DH⊥BC，先证出△DHC、△BEH是等腰直角三角形，得出DH=HC，EH=BH，设DH=HC=a，求出BD=2a，BH=$\sqrt{3}$a，得出EH、DE，即可求出$\frac{DE}{BD}$的值．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，F是AC的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$AC=AF，
∴∠FAB=∠FBA，
∵AG⊥BE，
∴∠AGB=90°，
∴∠ABC=∠AGB，
∴△ABC∽△BGA；
（2）∵AF=5，
∴AC=2AF=10，BF=5，
∵△ABC∽△BGA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BG}{AB}$，
∴BG=$\frac{A{B}^{2}}{AC}$=$\frac{{8}^{2}}{10}$=$\frac{32}{5}$，
∴FG=BG-BF=$\frac{32}{5}$-5=$\frac{7}{5}$；
（3）延长ED交BC于H，如图所示：
则DH⊥BC，
∴∠DHC=90°，
∵AB=AC，F为AC的中点，
∴∠C=45°，∠CBF=45°，
∴△DHC、△BEH是等腰直角三角形，
∴DH=HC，EH=BH，
设DH=HC=a，
∵∠DBC=30°，
∴BD=2a，BH=$\sqrt{3}$a，
∴EH=$\sqrt{3}$a，
∴DE=（$\sqrt{3}$-1）a，
∴$\frac{DE}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了直角三角形斜边上的中线性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明等腰直角三角形、解直角三角形才能得出结果．