Question

7．如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（　　）

• A． 25°
• B． 30°
• C． 35°
• D． 40°

Answer 1

分析 由HL证得Rt△BDP≌Rt△BFP，Rt△CEP≌Rt△CFP，得出∠ABP=∠CBP，∠ACP=∠FCP；根据三角形外角的性质，可得∠ABC+∠BAC=∠ACF，∠PBC+∠BPC=∠FCP，根据等量代换，即可得出结果．

解答 解：在Rt△BDP和Rt△BFP中，$\left\{\begin{array}{l}{PD=PF}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDP≌Rt△BFP（HL），
∴∠ABP=∠CBP，
在Rt△CEP和Rt△CFP中，$\left\{\begin{array}{l}{PE=PF}\\{PC=PC}\end{array}\right.$，
Rt△CEP≌Rt△CFP（HL），
∴∠ACP=∠FCP，
∵∠ACF是△ABC的外角，
∴∠ABC+∠BAC=∠ACF，
两边都除以2，得：$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$∠ACF，
即∠PBC+$\frac{1}{2}$∠BAC=∠FCP，
∵∠PCF是△BCP的外角，
∴∠PBC+∠BPC=∠FCP，
∴∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
故答案为：35°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识；找出各角的关系并进行等量代换是解决问题的关键．