Question

2．如图，等边△ABC和等腰Rt△DEF均内接于⊙O，∠D=Rt∠，EF∥AC，AC分别交DE、DF于点P、Q，EF分别交AB、BC于点G、H，则$\frac{PQ}{GH}$的值是（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{2}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 连接OD，OB，OD与AC交于K，根据等腰直角三角形，得到OD⊥EF，根据平行线的性质得到OD⊥AC，推出B，O，K，D四点共线，于是得到OB=OD=2OK=2DK，求得BG=GH=$\frac{OB}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OB，PQ=2DK=OB，即可得到结论．

解答 解：连接OD，OB，OD与AC交于K，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴OD⊥EF，
∵EF∥AC，
∴OD⊥AC，
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴B，O，K，D四点共线，
∴OB=OD=2OK=2DK，
∵△ABC是等边三角形，GH∥AC，
∴△BHG是等边三角形，
∴∠BGO=60°，
∴BG=GH=$\frac{OB}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$OB，
∵△DEF是等腰直角三角形，PQ∥EF，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴PQ=2DK=OB，
∴$\frac{PQ}{GH}$=$\frac{OB}{\frac{2\sqrt{3}}{3}OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选C．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，证得B，O，K，D四点共线是解题的关键．