Question

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AM与BN交于点P，且BM=AC，AN=CM，△EMC是等腰直角三角形，
（1）求证：四边形MENA是平行四边形；
（2）求∠BPM的度数．

Answer 1

分析 （1）首先证明AC∥ME，再证明AN=ME，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）连接BE，首先证明△BEM≌△AMC，可得∠4=∠AMC，BE=AM，根据平行四边形的性质可得NE=AM，∠2=∠1，AM∥EN，然后可证明△BEN为等腰直角三角形，得到∠BNE=45°，进而可得∠3=∠BPM=45°．

解答 （1）证明：∵△EMC是等腰直角三角形，
∴MC=ME，∠CME=90°，
∵∠C=90°，
∴AC∥ME，
∵AN=CM，
∴AN=ME，
∴四边形MENA是平行四边形；

（2）解：连接BE，
∵四边形AMEN为平行四边形，
∴NE=AM，∠2=∠1，AM∥EN，
∴∠3=∠BPM，
在△BEM和△AMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{MC=ME}\\{∠ACM=∠BME=90°}\\{MB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△AMC（SAS），
∴∠4=∠AMC，BE=AM，
∵∠2+∠AMC=90°，
∴∠1+∠4=90°，
∵NE=AM，BE=AM，
∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE=45°，
∴∠BPM=∠3=45°．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是正确画出辅助线，构造出全等三角形，掌握平行四边形对边平行且相等．