Question

15．某手机专卖店从厂家购进A、B两种型号的手机，每部A型号的手机的价钱比每部B型号的手机的价钱多100元，用1500元购进A型号手机的数量与用1200元购进B型号手机的数量相同．请你解答下列问题：
（1）A、B型号手机的单价是多少？
（2）若用2900元钱同时购进A、B两种型号的手机6部（钱可用尽，也可有剩余），有哪几种购机方案？
（3）若手机专卖店正好用12400元的钱，同时购进两种型号的手机后，全部售出，每部A型号手机获利100元，每部B型号手机获利90元，直接写出如何购进手机，获利最大？

Answer 1

分析 （1）设每部B型号的手机x元，则A型号的手机（x+100）元，根据1500元购进A型号手机的数量与用1200元购进B型号手机的数量相同列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设B种型号的手机购进a部，则A种型号的手机购进（6-a）部，根据花费的钱数小于等于2900列出不等式，求出不等式的解集的正整数解，即可确定出购机方案；
（3）要获得最大利润，在保证A型手机和B型手机数量均为正整数的条件下A型手机进货越多越好，根据A型手机与B型手机的单价，确定出购机方案即可．

解答 解：（1）设每部B型号的手机x元，则A型号的手机（x+100）元，
根据题意得：$\frac{1500}{x+100}$=$\frac{1200}{x}$，
解得：x=400，
经检验：x=400是原分式方程的解，且x+100=500（元），
答：每部A型手机500元，每部B型手机400元；
（2）设B种型号的手机购进a部，则A种型号的手机购进（6-a）部，
根据题意得：400a+500（6-a）≤2900，
解得：a≥1，
由题意可得a≤5，
∴1≤a≤5，
∵a为解集内的正整数，
∴a=1，2，3，4，5，
∴有5种购机方案：
方案一：A种型号的手机购进5部，则B种型号的手机购进1部；
方案二：A种型号的手机购进4部，则B种型号的手机购进2部；
方案三：A种型号的手机购进3部，则B种型号的手机购进3部；
方案四：A种型号的手机购进2部，则B种型号的手机购进4部；
方案五：A种型号的手机购进1部，则B种型号的手机购进5部；
（3）设购进A种型号的手机m部，购进B种型号的手机n部．
根据题意，得500m+400n=12400，m=$\frac{124-4n}{5}$，
设获得的总利润为w元，则w=100m+90n=100×$\frac{124-4n}{5}$+90n=10n+2480，
∴w随n的增大而增大．
∵m、n均为正整数，
∴当n=26时，能获得最大利润．此时m=$\frac{124-4n}{5}$=$\frac{124-4×26}{5}$=4．
因此，购进A种型号的手机4部，购进B种型号的手机26部时，获利最大．
答：购进A种型号的手机4部，购进B种型号的手机26部时获利最大．

点评 此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的运用，抓住题中的关键字眼“用1500元购进A型号手机的数量与用1200元购进B型号手机的数量相同”；“钱可用尽，也可有剩余”；“购进手机，获利最大”是解本题的关键．