Question

15．如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是3024π．

Answer 1

分析 首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．

解答 解：∵AB=4，BC=3，
∴AC=BD=5，
转动一次A的路线长是：$\frac{90π×4}{180}$=2π，
转动第二次的路线长是：$\frac{90π×5}{180}$=$\frac{5}{2}$π，
转动第三次的路线长是：$\frac{90π×3}{180}$=$\frac{3}{2}$π，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：$\frac{5}{2}π$+$\frac{3}{2}$π+2π=6π，
2015÷4=503余3，
顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．
故答案为：3024π．

点评 本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键．