Question

6．如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC边所在的直线上，且BC²=BD•CE．
（1）求∠DAE的度数．
（2）求证：AD²=DB•DE．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，利用等角的补角相等得到∠ABD=∠ACE，然后把题中已知的等式化为比例的形式，根据两边对应成比例，且夹角对应相等的两三角形相似即可得证；
（2）由于∠DAE=∠ADB=120°，∠D=∠D，推出△ABD∽△EAD根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{DE}=\frac{DB}{AD}$，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∴∠ABD=∠ACE，
∵BC²=BD•CE，
∴AB•AC=BD•CE，
即$\frac{AB}{BD}=\frac{CE}{AC}$，
∴△ABD∽△ECA；
∴∠DAB=∠E，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=120°；

（2）∵∠DAE=∠ADB=120°，∠D=∠D，
∴△ABD∽△EAD
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{DB}{AD}$，
∴AD²=DB•DE．

点评 本题考查了等边三角形性的性质以及相似三角形的判定，证明三角形相似的方法有：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例，且夹角对应相等两三角形相似；③三边对应成比例两三角形相似．做题时要根据已知的条件，选择合适的方法．把AB•AC=BD•CE化为比例的形式，得到两三角形的对应边成比例是解本题的关键．