Question

15．如图所示，△ABC中，点D在BC的延长线上，点O是AC边上的一个动点（不与A，C重合），过点O的直线MN∥BC，CE平分∠ACB交MN于点E，CF平分∠ACD交MN于点F．
（1）求证：OE=OF．
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线性质和角平分线性质，由平行线所夹的内错角相等证得即可；
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．

解答 证明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠OEC=∠BCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理：OF=OC，
∴OE=OF；

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF为矩形；
理由：∵OE=OF，OA=OC
∴四边形AECF为平行四边形
∵∠OCE=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠OCF=$\frac{1}{2}$∠ACD
∴∠ECF=∠OCE+∠OCF
=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠ACD
=$\frac{1}{2}$（∠ACB+∠ACD）
=$\frac{1}{2}$×180°
=90°
∴平行四边形AECF为矩形．

点评 本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．