Question

4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的O点为坐标原点，A、C两点分别在y轴和x轴上，AB∥OC，OA=8，AB=24，OC=26，动点P从A开始沿AB边向点D以1个单位/s的速度运动，动点Q从C开始沿CO边向点O以3个单位/s的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当一点到达时另一点也停止，设运动时间为t．
（1）求直线BC的解析式；
（2）当t为何值时，PQ∥CB？
（3）是否存在t的值，使得PQ将四边形OABC的面积分成2：3两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求解；
（2）PQ∥CB时，四边形PQCB是平行四边形，则PB=QC，据此即可得到关于t的方程，求得t的值；
（3）PQ将四边形OABC的面积分成2：3两部分，即S_{四边形OABC}等于梯形ABCO的$\frac{2}{5}$或$\frac{3}{5}$，根据梯形的面积公式求解．

解答 解：（1）设直线PQ的解析式是y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{24k+b=8}\\{26k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=104}\end{array}\right.$，
则直线PQ的解析式是y=-4x+104；
（2）∵PQ∥CD，AB∥OC，
∴四边形PQCB是平行四边形，
∴PB=QC，即24-t=3t，
解得：t=6，
因此，当t=6s时，PQ∥CB；
（3）存在．
∵AP=t，OQ=26-3t，
∴S_{四边形OAPQ}=$\frac{1}{2}$（t+26-3t）×8=-8t+104，
又∵S_{四边形OABC}=$\frac{1}{2}$（24+26）×8=200，
∴-8t+104=$\frac{2}{5}$×200或-8t+104=$\frac{3}{5}$×200，
解得：t=3或-2（舍去）．
则当t为3s时，PQ将四边形OABC的面积分成2：3两部分．

点评 本题是待定系数法求一次函数解析式以及梯形的面积的计算的综合题，理解平行四边形的判定定理是关键．