Question

15．如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC=CD，以AB为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点E、点F．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）连接OC，交⊙O于点G，若AB=8，求线段CE、CG与GE围成的阴影部分的面积S．

Answer 1

分析 （1）欲证明AD是⊙O的切线，只要证明AD⊥AB即可；
（2）根据S_阴=S_△OEC-S_扇形OEG，只要证明AE=EC，推出S_△OEC=S_△AOE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•4²=4$\sqrt{3}$即可解决问题；

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵CA=CD，
∴∠D=∠CAD，
∵∠ACB=∠D+∠CAD，
∴∠CAD=30°，
∴∠BAD=60°+30°=90°，
∴DA⊥BA，
∴AD是⊙O的切线．

（2）解：连接OE，
∵OA=OE，∠OAE=60°，
∴△OAE是等边三角形，
∴AE=AO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AC，
∴AE=EC，
∴S_△OEC=S_△AOE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•4²=4$\sqrt{3}$，
∵CA=CB，OA=OB，
∴CO⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∴∠EOG=30°，
∴S_扇形OEG=$\frac{30•π•{4}^{2}}{360}$=$\frac{4π}{3}$，
∴S_阴=S_△OEC-S_扇形OEG=4$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查切线的判定、等边三角形的性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．