Question

14．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是BD的中点，BE=DF，AF∥CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若OA=OD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质推出∠AFO=∠CEO，∠FAO=∠ECO，求出OE=OF，证△AOF≌△COE，推出AF=CE，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）根据全等得出OA=OC，求出AC=BD，再根据平行四边形和矩形的判定推出即可．

解答 （1）证明：∵AF∥CE，
∴∠AFO=∠CEO，∠FAO=∠ECO，
∵O为BD的中点，即OB=OD，BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，即OE=OF，
在△AOF和△COE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠CEO}\\{∠FAO=∠ECO}\\{OE=OF}\end{array}\right.$
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；

（2）若OA=OD，则四边形ABCD是矩形，
证明：∵△AOF≌△COE，
∴OA=OC，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵OA=OD，∴OA=OB=OC=OD，即BD=AC，
∴四边形ABCD为矩形．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．