Question

4．已知线段AB，且A（-8，1）、B（-3，1），另有一线段CD在直线y=-x上，且CD=$\sqrt{2}$，确定D点位置，使A、B、C、D构成的四边形周长最短，并求D点坐标及这个最小值．

Answer 1

分析 过点B作BE∥DC，取BE=$\sqrt{2}$，则BE=DC，作点E关于y=-x的对称点E′，连接E′A交y=-x于点D，首先可证明四边形DCBE为平行四边形，从而得到BE=DE，然后再求得点E的坐标，根据点E′与点E对称可知得到E′的坐标，从而可求得点AE的长度，进而可求得四边形周长的最小值，再求得直线AE′的解析式，然后再求得两直线交点的坐标即可．

解答 解：过点B作BE∥DC，取BE=$\sqrt{2}$，则BE=DC，作点E关于y=-x的对称点E′，连接E′A交y=-x于点D．

∵BE∥CD，BE=DC，
∴四边形DCBE为平行四边形．
∴ED=BC．
∵BE=$\sqrt{2}$，
∴EF=1，BF=1．
∵点B的坐标为（-3，1），
∴点E的坐标为（-4，2）．
∵点E′与点E关于y=-x对称，
∴点E′的坐标为（-2，4）．
设直线AE′的解析式为y=kx+b，根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=4}\\{-8k+b=1}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$
∴直线AE′的解析式为y=$\frac{1}{2}x+5$
将y=-x与y=$\frac{1}{2}x+5$组成方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=\frac{1}{2}x+5}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{10}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴点D的坐标为（-$\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}$）．
根据两点间的距离公式得：AE′=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$
∴四边形周长得最小值=AB+DC+AE′=5+$\sqrt{2}$+3$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查的是轴对称-路径最短问题，掌握找出四边形周长最短满足的条件是解题的关键．