题目内容
6．
如图，已知A，B两点是直线AB与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点，且OA，OB的长分别是x2-14x+48=0的两个根（OA＞OB），射线BC平分∠ABO交x轴于C点，若有一动点P以每秒1个单位的速度从B点开始沿射线BC移动，运动时间为t秒．（1）求OA，OB的长；
（2）设△APB和△OPB的面积分别为s1，s2，求s1：s2；
（3）在点P的运动过程中，△OPB可能是等腰三角形吗？若可能，直接写出时间t；若不可能，请说明理由．
分析 （1）解方程x2-14x+48=0即可得到结果；
（2）根据角平分线的性质得到P是角平分线上的点，P到OB，AB的距离相等，而两个三角形的高相等，S1：S2=AB：OB=5：3；
（3）过C作CD垂直AB，垂足为D设OC=x，则CD=x，易知BD=OB，根据勾股定理列方程求得C点的坐标（3，0），得到直线BC的解析式：y=-2x+6，然后分三种情况逐一解答①当BP=OB=6时，得到t=6，②点BP=OP时，P在OB的中垂线上，得到yp=3，代入直线BC的解析式得P（$\frac{3}{2}$，3），利用勾股定理可得BP=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，即可得到t的值；③当OB=OP=6时，设P（m，-2m+6），根据勾股定理列方程m2+（-2m+6）2=62，解得m=$\frac{24}{5}$，然后再根据勾股定理得到PB=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}+（\frac{48}{5}）^{2}}$=$\frac{24\sqrt{5}}{5}$，求得结果．
解答 解：（1）∵OA、OB的长是方程x2-14x+48=0的两根（OA＞OB），
解方程得：x1=8，x2=6，
∵OA＞OB，
∴OA=8，OB=6；
（2）如图1
，过P点作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分别为D、H，
∵BC为∠ABO的平分线，
∴PH=PD，
∴S1：S2=AB：OB，
∵OA=8，OB=6，
∴AB=10，
∴S1：S2=AB：OB=5：3；
（3）如图3，过C作CD垂直AB，垂足为D，
设OC=x，则CD=x，易知BD=OB，
在直角三角形CDA中：CD2+AD2=AC2，
即x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
所以C点的坐标（3，0），
∴直线BC的解析式：y=-2x+6，
①BP=OB时，t=6，
②BP=OP时，P在OB的中垂线上，yp=3，代入直线BC的解析式得P（$\frac{3}{2}$，3），
利用勾股定理可得BP=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴t=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
③OB=OP=6时，设P（m，-2m+6），
∴根据勾股定理得：m2+（-2m+6）2=62，
解得：m=$\frac{24}{5}$，
∴PB=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}+（\frac{48}{5}）^{2}}$=$\frac{24\sqrt{5}}{5}$，
∴t=$\frac{24\sqrt{5}}{5}$．
点评 本题考查了解一元二次方程，角平分线的性质，勾股定理，求函数的解析式，正确的画出辅助线是解题的关键．
在平面直角坐标系和第一象限中有一矩形ABCD，AD平行于x轴，其中点A（3，4）且AB=2，BC=3．若将矩形ABCD向左平移a个单位之后，矩形到了第二象限，这时B、D两点在同一双曲线y=$\frac{k}{x}$上．
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是BD的中点，BE=DF，AF∥CE．
如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm．E、F分别是AB、BC的中点．则E到DF的距离是3$\sqrt{2}$cm．
如图，在直角坐标系中，A（0，4），B（-4，4），C（-4，0），D（0，2）．