Question

16．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，在线段AB上取一点D，作DF⊥AB交AC于点F，现将△ADF沿DF折叠，使点A落在线段DB上，对应点记为H，AD的中点E的对应点记为G，若△GFH∽△GBF，则AD=$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AC，设AD=2x，得到AE=DE=DG=GH=x，然后求出BG，再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF，然后利用勾股定理列式求出GF，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x的值，从而可得AD的值．

解答 解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
设AD=2x，
∵点E为AD的中点，将△ADF沿DF折叠，点A对应点记为H，点E的对应点为G，
∴AE=DE=DG=GH=x，
∵DF⊥AB，∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AFD，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{BC}$，
即$\frac{2x}{8}=\frac{DF}{6}$，
解得：DF=$\frac{3}{2}$x，
在Rt△DGF中，GF=$\sqrt{D{F}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}x）^{2}+{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}x}{2}$，
又∵BG=AB-AG=10-3x，△GFH∽△GBF，
∴$\frac{GF}{GH}=\frac{BG}{GF}$，
∴GF²=GH•BG，
即（$\frac{\sqrt{13}}{2}x$）²=x（10-3x），
解得x=$\frac{8}{5}$，
∴AD的长为2×$\frac{8}{5}$=$\frac{16}{5}$．
故答案为：$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质，主要利用了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键．