Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E和点D，已知BD：CD=2：$\sqrt{3}$．
（1）求∠ADC的度数；
（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15°的值（结果保留根号）．

Answer 1

分析 （1）连接AD，设BD=2k，则CD=$\sqrt{3}$k，根据垂直平分线的性质可得AD=BD=2k，然后只需在Rt△ACD中运用三角函数就可解决问题；
（2）当∠ACD=30°时，易得∠B=15°，要求tan15°的值，只需求$\frac{AC}{BC}$，只需用k的代数式分别表示出AC和BC就可解决问题．

解答 解：（1）连接AD，如图．
设BD=2k，则CD=$\sqrt{3}$k．
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD=2k．
在Rt△ACD中，
∵∠C=90°，
∴cos∠ADC=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}k}{2k}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADC=30°；

（2）∵AD=BD，
∴∠B=∠DAB．
∵∠ADC=30°，∠B+∠DAB=∠ADC，
∴∠B=∠DAB=15°．
在Rt△ACD中，
∵∠C=90°，
∴$AC=\sqrt{A{D^2}-C{D^2}}=k$．
在Rt△ABC中
∵∠C=90°，
∴$tanB=\frac{AC}{BC}=\frac{k}{{\sqrt{3}k+2k}}=2-\sqrt{3}$，
∴$tan{15°}=2-\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用已知条件和第（1）小题的结论是解决第（2）小题的关键．