Question

15．如图，⊙O是以坐标原点为圆心，半径为1的圆，过点O的直线l与x轴的正半轴所夹锐角为30°，点P在x轴上运动，过点P且与直线l平行（或重合）的直线与⊙O有公共点，则点P的横坐标x的取值范围为-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤x≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意得x有两个极值点，过点P与⊙O相切时，x取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可．

解答 解：将OA平移至P'D的位置，使P'D与圆相切，
连接OD，由题意得，OD=1，∠DOP'=30°，∠ODP'=90°，
故可得OP'=$\frac{OD}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即x的极大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
同理当点P在y轴左边时也有一个极值点，此时x取得极小值，x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
综上可得x的范围为：-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤x≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤x≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找．