Question

6．设α、β为方程2x²-$\sqrt{14}$x+1=0的两根，则（1）α²+β²=$\frac{5}{2}$；（2）（α-β）²=$\frac{3}{2}$；（3）（$α+\frac{1}{β}$）（$α-\frac{1}{β}$）=0．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到α+β=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，αβ=$\frac{1}{2}$．
（1）将α²+β²变形为（α+β）²-2αβ，再整体代入计算即可求解；
（2）将）（α-β）²变形为（α+β）²-4αβ，再整体代入计算即可求解；
（3）先降次，将原式变形为$\frac{14αβ-\sqrt{14}（α+β）+1-1}{\sqrt{14}β-1}$，再整体代入分子计算即可求解．

解答 解：∵α、β为方程2x²-$\sqrt{14}$x+1=0的两根，
∴α+β=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，αβ=$\frac{1}{2}$．
（1）α²+β²=（α+β）²-2αβ=（$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²-2×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；
（2）（α-β）²=α²+β²-2αβ=（α+β）²-4αβ=（$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²-4×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$；
（3）（$α+\frac{1}{β}$）（$α-\frac{1}{β}$）=α²-$\frac{1}{{β}^{2}}$=$\sqrt{14}$α-1-$\frac{1}{\sqrt{14}β-1}$=$\frac{14αβ-\sqrt{14}（α+β）+1-1}{\sqrt{14}β-1}$=$\frac{7-\sqrt{14}×\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{14}β-1}$=$\frac{7-7}{\sqrt{14}β-1}$=0．
故答案为：$\frac{5}{2}$；$\frac{3}{2}$；0．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．