Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，D在边AC上，且BD=DA=BC．
（1）如图1，填空∠A=36°，∠C=72°．
（2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC与点N、E．
①求证：△BNE是等腰三角形；
②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠DBA=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠C，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）①根据已知条件得到∠ABD=∠CBD=36°，根据垂直的定义得到∠BHN=∠EHB=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
②由①知，BN=BE，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠A=∠DBC，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∴∠A=∠DBA=∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，
∴∠A=36°，∠C=72°；
故答案为：36，72；
（2）①∵∠A=∠ABD=36°，
∠B=∠C=72°，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵BH⊥EN，
∴∠BHN=∠EHB=90°，
在△BNH与△EBH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NBH=∠EBH}\\{BH=BH}\\{∠BHE=∠BHN}\end{array}\right.$，
∴△BNH≌△EBH，
∴BN=BE，
∴△BNE是等腰三角形；
②CD=AN+CE，
理由：由①知，BN=BE，
∵AB=AC，
∴AN=AB-BN=AC-BE，
∵CE=BE-BC，
∵CD=AC-AD=AC-BD=AC-BC，
∴CD=AN+CE．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．