Question

1．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．

（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）结论：PB=PQ，如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．只要证明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．
（2）结论不变，证明方法类似．

解答 解：（1）结论：PB=PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFQ=∠PEB}\\{∠QPF=∠BPE}\\{PF=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；               

（2）结论：PB=PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFQ=∠PEB}\\{∠QPF=∠BPE}\\{PF=PE}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全球的三角形解决问题，属于中考常考题型．