Question

10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，EF垂直平分BD，分别交AB，BC，BD于E，F，G，连接DE，DF．
（1）求证：DE=DF；
（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，DE=4，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明四边形BFDE是菱形即可；
（2）在Rt△DFH中，求出DH、FH，在Rt△DHC中，求出CH即可解决问题；

解答 （1）证明：∵EF垂直平分BD，
∴EB=ED，FB=FD．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠CBD．
∵∠ABD+∠BEG=90°，∠CBD+∠BFG=90°，
∴∠BEG=∠BFG．
∴BE=BF．
∴四边形BFDE是菱形．
∴DE=DF．

（2）解：过D作DH⊥CF于H．
∵四边形BFDE是菱形，
∴DF∥AB，DE=DF=4．
在Rt△DFH中，∠DFC=∠ABC=30°，
∴DH=2，FH=$\sqrt{3}$DH=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CDH中，∠C=45°，
∴DH=HC=2，
∴CF=CH+FH=2+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的性质，解直角三角形，直角三角形的30度角性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．