Question

17．某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8．
问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE．
（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值．
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．
问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长．

Answer 1

分析 （1）设AP=x，则PB=8-x，求出正方形APDC与正方形PBFE的面积之和=x²+（8-x）²=2（x-4）²+32，得出当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32；
（2）设AP=a，则PB=BF=8-a．由平行线得出比例式 $\frac{PK}{BF}=\frac{AP}{AB}$，得出PK、DK，求出△APK和△DFK的面积，即可得出结论；
（3）根据题意得出：点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上；得出PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，由弧长公式即可得出结果．

解答 解：（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值；理由如下：
设AP=x，则PB=8-x，
根据题意得：正方形APDC与正方形PBFE的面积之和=x²+（8-x）²=2（x-4）²+32，
∴当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32；
（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与△DFK；理由如下：
依题意画出图形，如图1所示：
设AP=a，则PB=BF=8-a．
∵PE∥BF，
∴△APK∽△ABF，
∴$\frac{PK}{BF}=\frac{AP}{AB}$，
即 $\frac{PK}{8-a}=\frac{a}{8}$，
∴PK=$\frac{a（8-a）}{8}$，
∴DK=PD-PK=a-$\frac{a（8-a）}{8}$=$\frac{{a}^{2}}{8}$，
∴S_△APK=$\frac{1}{2}$PK•PA=$\frac{1}{2}$•$\frac{a（8-a）}{8}$•a=$\frac{{a}^{2}（8-a）}{16}$，
S_△DFK=$\frac{1}{2}$DK•EF=$\frac{1}{2}$•$\frac{{a}^{2}}{8}$•（8-a）=$\frac{{a}^{2}（8-a）}{16}$，
∴S_△APK=S_△DFK；
（3）当点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，
若点P在点A，点Q在点D，此时PQ的中点O即为DA边的中点；
若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A；
此时在Rt△APQ中，O为PQ的中点，
∴AO=$\frac{1}{2}$PQ=4；
∴点O在以A为圆心，半径为4，圆心角为90°的圆弧上；
PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90°的圆弧，如图2所示：
∴PQ的中点O所经过的路径的长为：$\frac{3}{4}$×2π×4=6π．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形面积的计算、二次函数的最小值、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算、弧长公式、点和圆的位置关系等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）、（3）中，需要通过证明三角形相似和判定点和圆的位置关系才能得出结果．