Question

17．已知四边形ABCD是矩形，且AB=1，BC=2，求：
（1）|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$|；
（2）|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$|；
（3）$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{AC}$；
（4）$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{BC}$．

Answer 1

分析 （1）把-$\overrightarrow{CB}$写成$\overrightarrow{BC}$，再根据平行四边形法则求解，然后利用勾股定理求出|$\overrightarrow{AC}$|即可；
（2）先表示出-$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$，然后求解即可；
（3）根据（1）的计算方法求解即可；
（4）根据平行四边形法则表示出$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BD}$，然后整理即可得解．

解答 解：（1）∵-$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{BC}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$|=|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，
∵四边形ABCD是矩形，且AB=1，BC=2，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{5}$；

（2）∵-$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$，
∴|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{AB}$|，
∵AB=1，
∴|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$|=2；

（3）由（1）可知，$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AC}$=0；

（4）由平行四边形法则得，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$，
所以，$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BC}$．

点评 本题考查了平面向量，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键，本题要注意互为相反向量的应用．