题目内容
7．
如图，在平面直角坐标系xoy中，O为原点，?ABCD的边AB在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标为（-2，0），AB=6，∠BAD=60°，点E是BC边上一点，CE=3EB，⊙P过A、O、D三点，抛物线y=ax2+bx+c过点A、B、D三点．（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：DE是⊙P的切线；
（3）若将△CDE绕点D顺时针旋转90°，点E的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；
（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）先确定出点B的坐标，进而求出点D的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先求出CE=3，利用两边对应成比例，夹角相等判断出△OAD∽△ECD即可得出∠ODA=∠EDC，即可得出∠ODE=90°，结论得证；
（3）先利用旋转求出点E'的坐标，最后判定点E'是否在抛物线上；
（4）分三种情况，利用线段的中点坐标公式，和平行四边形的对角线互相平分建立方程求解即可得出结论．
解答 解：（1）∵A（-2，0），AB=6，
∴B（4，0），
∴OB=4，
∵DO⊥AB，∠BAD=60°，
∴OD=OAtan60°=2$\sqrt{3}$，
∴D（0，2$\sqrt{3}$），
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，D；
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{4}}\\{b=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；
（2）A（-2，0），
∴OA=2，
在Rt△AOD中，∠BAD=60°，
∴OD=2$\sqrt{2}$，AD=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CAD=∠C=60°，CD=AB=6，BC=AD=4，
∵CE=3EB，
∴CE=3，
∴$\frac{OA}{AD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{CE}{CD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{AD}=\frac{CE}{CD}$，∵∠OAD=∠C，
∴△OAD∽△ECD，
∴∠ODA=∠EDC，
∵∠ODC=90°，
∴∠ADE=∠ODA+∠ODE=∠EDC+∠ODE=90°，
∵点D在⊙P上，
∴DE是⊙P的切线；
（3）点E'不在抛物线上，理由：如图1，
∵∠ADE=90°，
∴点E'落在DA的延长线上，点C'落在y轴上，
∴C'（0，-6），
由旋转知，∠DC'E'=∠C=60°，C'E'=CE=3，
过点E'作E'H⊥DC'于H，
∴E'H=C'E'sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，C'H=C'E'cos60°=$\frac{3}{2}$，
∴OH=DC'-C'H-OD=$\frac{9}{2}-2\sqrt{3}$，
∵点E'落在第三象限，
∴E'（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，2$\sqrt{3}$-$\frac{9}{2}$），
当x=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）2+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）+2$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{16}$-$\frac{9}{4}$≠2$\sqrt{3}$-$\frac{9}{4}$，
∴点E'不在抛物线上；
（4）如图2，
由（1）知，抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+2$\sqrt{3}$；
∴M（1，$\frac{7\sqrt{3}}{4}$），
∵B（4，0），D（0，2$\sqrt{3}$），
设N（m，n），
∵以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
①当BD与MN是对角线时，
∴$\frac{1}{2}$（m+1）=$\frac{1}{2}$×4，$\frac{1}{2}$（n+$\frac{7\sqrt{3}}{4}$）=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$，
∴m=3，n=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴N1（3，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
②当BM与DN是对角线时，同①的方法得，N2（5，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
③当BN与DM是对角线时，同①的方法得，N3（-3，$\frac{17\sqrt{3}}{4}$）．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判断和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，旋转的旋转，解（1）的关键是求出点D的坐标，解（2）的关键是判断出△OAD∽△ECD，解（3）的关键是利用旋转确定出点E'的坐标，解（4）的关键是分类讨论的思想解决问题．
心算口算巧算一课一练系列答案
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．
| A． | $\sqrt{8}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$ | B． | $\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$=$\sqrt{5}$ | C． | $\sqrt{2}$×$\sqrt{5}$=$\sqrt{10}$ | D． | $\sqrt{8}$÷$\sqrt{2}$=4 |
如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为3cm．