Question

18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．
（1）求证：△DFE是等腰直角三角形；   
（2）当点E运动到何处时，四边形CEDF为正方形；并加以证明．

Answer 1

分析 （1）连接CF．只要证明△ADF≌△CEF即可解决问题；
（2）当E为BC中点时，四边形CEDF为正方形；

解答 （1）证明：连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；

（2）解：当E为BC中点时，四边形CEDF为正方形
∵E为BC中点时，CD=DF=FE=EC，
四边形CDFE是菱形，又∠C=90°，
∴四边形CDFE是正方形．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、正方形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．