Question

15．如图，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：

（1）如图①，求证：OB∥AC．
（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．求∠EOC的度数．
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质知∠O=180°-∠B=80°，结合∠A=100°得∠A+∠O=180°，即可得证；
（2）由角平分线的性质可得；
（3）由BC∥OA知∠OCB=∠AOC，结合∠FOC=∠AOC知∠FOC=∠OCB，从而得∠OFB=2∠OCB；

解答 解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，
∴∠O=180°-∠B=80°，
而∠A=100°，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；

（2）∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE=∠FOE=$\frac{1}{2}$∠BOF，
而∠FOC=∠AOC=$\frac{1}{2}$∠AOF，
∴∠EOC=∠EOF+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×80°=40°；

（3）不改变，
∵BC∥OA，
∴∠OCB=∠AOC，
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠FOC=∠OCB，
∴∠OFB=∠FOC+∠OCB=2∠OCB，即∠OCB：∠OFB的值为1：2．

点评 本题主要考查角平分线的性质和平行线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握角平分线的性质和平行线的判定与性质是解题的关键．