Question

12．如图，平面直角坐标系中三点A（3，0），B（0，2），P（x，0）（x＜0），连结BP，过点P作PC⊥PB交过点A的直线x=3于点C（3，y）
（1）试把y用含x的代数式来表示；
（2）当x=-1时，求BC与PA的交点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）证得△BPO∽△PCA，可得出关于OB、OP、PA、AC的比例关系式，由此可得出关于x，y的函数关系式．（要注意P点的横坐标和C点的纵坐标都是负数）．
（2）根据（1）得出的函数解析式即可得出x的最大整数值，代入抛物线的解析式中即可求出C点的坐标，然后根据B、C的坐标，求出直线BC的解析式，即可求出直线BC与x轴交点Q的坐标．

解答 解：（1）∵PC⊥PB，BO⊥PO
∴∠CPA+∠OPB=90°，∠PBO+∠OPB=90°
∴∠CPA=∠PBO
∵A（2，0），C（2，y）在直线x=3上
∴∠BOP=∠PAC=90°
∴△BOP∽△PAC
∴$\frac{PO}{AC}$=$\frac{BO}{PA}$，
∴$\frac{|x|}{|y|}$=$\frac{2}{3+|x|}$，
∵x＜0，y＜0，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{2}{3-x}$
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x．

（2）当x=-1时，y=-2，
∴C点的坐标为（3，-2）；
设直线BC的解析式为y=kx+2，将C点坐标代入后可得：
3k+2=-2，k=-$\frac{4}{3}$，
因此直线BC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+2．
当y=0时，0=-$\frac{4}{3}$x+2，x=$\frac{3}{2}$．
因此Q点的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题考查了三角形相似的判定和性质、待定系数法求一次函数的解析式，一次计算图象上点的坐标特征等．考查学生数形结合的数学思想方法．