Question

13．观察下列各式：
（x-1）÷（x-1）=1；
（x²-1）÷（x-1）=x+1；
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1；
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1；
（1）根据上面各式的规律可得（xⁿ⁺¹-1）÷（x-1）=xⁿ+x^n-1+…+x+1；
（2）利用（1）的结论求2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2+1的值；
（3）若1+x+x²+…+x²⁰¹⁵=0，求x²⁰¹⁶的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知发现结果的规律：按x进行降幂排列，各项系数为1，直接写出结论即可；
（2）将（1）中的规则逆用，计算即可；
（3）将（1）中结论逆用，列出方程，求解即可．

解答 解：（1）由已知发现，结果的规律：按x进行降幂排列，各项系数为1，最高次项的次数为等式前面的最高次数减1，
可知；（xⁿ⁺¹-1）÷（x-1）=xⁿ+x^n-1+…+x+1，
（2）2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2+1=（2²⁰¹⁶-1）÷（2-1）=2²⁰¹⁶-1；
（3）由1+x+x²+…+x²⁰¹⁵=0可得，
（x²⁰¹⁶-1）÷（x-1）=0，
∴x²⁰¹⁶-1=0，
∴x²⁰¹⁶=1．

点评 此题主要是规律问题的探索与应用，根据具体的等式发现规律并合理分析应用是解题的关键．