题目内容

17．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴上，点B的纵坐标为2，点P为y轴右侧抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，直线AB与y轴交于点E，当m为何值时，以E，C，P，D为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；
（3）在直线AB的下方的抛物线上存在点P，满足∠PBD=45°，请直接写出此时的点P的坐标．

分析 （1）只需先求出点A、B的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）易求出点E、C的坐标，从而求出EC的长．易证EC∥DP，要使以E，C，P，D为顶点的四边形是平行四边形，只需DP=EC，只需用含有m的代数式表示出点D、P的纵坐标，然后根据DP=EC建立关于m的方程并解此方程，就可解决问题；
（3）连接BP，与x轴交于点F，过点B作BH⊥x轴于H，过点F作FG⊥AB于G，如图所示．要求点P的坐标，只需求出直线BP的解析式，只需求出点F的坐标，只需求出AF的长，易证△AOE∽△AGF∽△AHB，根据相似三角形的性质可得AG=2GF，AH=2BH=4，根据勾股定理可得AB=2$\sqrt{5}$．由∠ABP=45°，FG⊥AB可得FG=BG．设FG=x，则有AG=2x，BG=x，AB=3x=2$\sqrt{5}$，从而可求出x，根据勾股定理可求出AF，问题得以解决．

解答 解：（1）∵点A、B在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$上，yA=0，yB=2，
∴xA=-1，xB=3，
∴A（-1，0），B（3，2）．
∵点A、B在抛物线y=x2+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x2-$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$；

（2）∵点C是抛物线y=x2-$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$与y轴的交点，
∴C（0，-$\frac{5}{2}$）．
∵点E是直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$与y轴的交点，
∴E（0，$\frac{1}{2}$），
∴EC=$\frac{1}{2}$-（-$\frac{5}{2}$）=3．
∵PD⊥x轴，
∴xD=xP=m，
∴yD=$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$，yP=m2-$\frac{3}{2}$m-$\frac{5}{2}$，
∴DP=|m2-$\frac{3}{2}$m-$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$|=|m2-2m-3|．
∵EC⊥x轴，DP⊥x轴，
∴EC∥DP．
∴当DP=EC=3时，以E、C，P，D为顶点的四边形是平行四边形，
此时|m2-2m-3|=3，
解得m1=1+$\sqrt{7}$，m2=1-$\sqrt{7}$，m3=0，m4=2．
∵点P为y轴右侧抛物线上一动点，
∴m=1+$\sqrt{7}$或2；

（3）点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
提示：连接BP，与x轴交于点F，过点B作BH⊥x轴于H，过点F作FG⊥AB于G，如图所示．
易证△AOE∽△AGF∽△AHB，从而可得$\frac{GF}{AG}$=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{OE}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
则有AG=2GF，AH=2BH=4，AB=2$\sqrt{5}$．
由∠ABP=45°，FG⊥AB可得FG=BG．
设FG=x，则AG=2x，AF=$\sqrt{5}$x，BG=x，AB=3x=2$\sqrt{5}$，
即可得到x=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，AF=$\frac{10}{3}$，OF=AF-AO=$\frac{7}{3}$，F（$\frac{7}{3}$，0），
运用待定系数法可得直线BF的解析式为y=3x-7．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-7}\\{y={x}^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{y}_{1}=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，具有解三角形意识（在△ABF中知道三个元素∠BAF、∠ABF及AB可求AF等其它元素）是解决第（3）小题的关键．

练习册系列答案
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18．解下列不等式组：
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球员甲、乙进球成绩统计表
 定点A定点B定点C定点D定点E
球员甲成绩867410
球员乙成绩7876a
小刚的计算结果
 平均数方差
球员甲74
（1）观察球员乙投篮进球数的扇形统计图（图1），回答：
①乙球员5个定点投篮进球数的众数是7，中位数是7；
②进球数为7的扇形所对的圆心角是216°
（2）a=7，$\overline{x{\;}_{乙}}$=7．
（3）请完成图2中表示乙成绩变化情况的折线图；
（4）①观察图2，可以看出乙的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”），计算乙成绩的方差，并验证你的判断．
②请你从平均数的方差的角度分析，谁将被选中．
9．△ABC中，DE垂直平分BC，∠BAC的平分线交DE于E，EF⊥AB交直线AB于F．
（1）如图①，求证：AC+AB=2AF；
（2）当∠BAC外角平分线交DE于E时，如图②、如图③，AC、AB、AF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（2）的条件下，若AB+AC=10，AF=2，则AB=3或7．
6．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D在AC上，M为EC的中点．
（1）求证：△BDM为等腰直角三角形；
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，其他条件不变，结论是否依然成立？
将△ADE绕点A逆时针旋转90°，其他条件不变，结论是否依然成立？
将△ADE绕点A逆时针旋转135°，其他条件不变，结论是否依然成立？
以上三种情况请你选择一种情况，画出相应的图形，并证明你的结论．
7．一条河的两岸有一段是平行的．在河的这一岸每相距5米栽一棵树，在河的对岸每相距50米有一根电线杆．在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽是37.5m．

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