Question

15．正方形ABCD中，点G为BC上任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F．
（1）若点G为BC的中点，AB=4，FG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求EF的长；
（2）求证：AF-BF=EF．

Answer 1

分析 （1）由正方形的在和已知条件易证△ABF≌△DAE，所以可得AE=BF，再利用勾股定理可求出AG的长，进而可求出EF的长；
（2）由已知和（1）可知，当G为BC上任意一点时，始终存在△ABF≌△DAE，利用全等三角形的性质即可证明AF-BF=EF．

解答 解：（1）∵DE⊥AG，BF∥DE，
∴BF⊥AG，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，
在△ABF和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠DAE}\\{∠AFB=∠AED=90°}\\{AB=AD}\end{array}\right.$．
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE=BF，
又∵G为BC的中点，AB=4，FG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴BG=2，AG=2$\sqrt{5}$，BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$
（2）由已知和（1）可知，当G为BC上任意一点时，
始终存在△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，
∴AF-AE=EF=AF-BF．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的运用，注意题目中相等线段的代替是解题关键．