Question

3．在平面直角坐标系中，边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点P，顶点B，A在x，y轴正半轴上运动（x轴的正半轴，y轴的正半轴都不包含原点O）顶点C、D都在第一象限．
（1）如图1，当∠ABO=45°时，求直线OP的解析式，并说明OP平分∠AOB；
（2）当∠ABO≠45°时（如图2）：OP是否还平分∠AOB？点P是否仍在直线y=x上，若是，请选择图2进行证明；如若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得出∠BPA=90°，PA=PB，再结合∠ABO=45°即可得出四边形OAPB是正方形．根据AB=$\sqrt{2}$结合勾股定理即可求出PA=PB=1，由此即可得出点P的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP的解析式，再根据正方形的性质得出∠PAO=∠PBO=90°即PB⊥x轴，PA⊥y轴，依据角平分线的性质即可得出OP平分∠AOB；
（2）OP平分∠AOB，点P在直线y=x上．过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，通过证明△EPB≌△FPA即可得出PE=PF，由此可得出OP平分∠AOB，设点P坐标为（m，n），则可得出m=n，由此即可得知点P在直线y=x上．

解答 （1）证明：∵∠BPA=90°，PA=PB，
∴∠PBA=45°，
∵∠ABO=45°，
∴∠PBO=90°，
∴四边形OAPB是正方形．
∵AB=$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：PA=PB=1，
∴P点的坐标为（1，1）．
设直线OP的解析式为y=kx，
把点P（1，1）代入y=kx得：1=k，
∴直线OP的解析式为y=x．
又∵四边形OAPB是正方形，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴PB⊥x轴，PA⊥y轴，
又∵PA=PB，
∴OP平分∠AOB．
（2）解：OP平分∠AOB，点P在直线y=x上．
过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，如图所示．

∵∠APE+∠EPB=90°，∠FPA+∠APE=90°，
∴∠EPB=∠FPA．
在△EPB和△FPA中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠EPB=∠FPA}\\{∠PFA=∠PEB=90°}\\{PA=PB}\end{array}\right.$，
∴△EPB≌△FPA（AAS），
∴PE=PF．
∴OP平分∠AOB．
又∵PE=PF，
∴设点P（m，n），
则m=n，
∴点P在直线y=x上．

点评 本题考查了正方形的性质、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）求出点P的坐标；（2）证出PE=PF．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，求出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．