题目内容

如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
（1）CD=BE．理由如下：（1分）
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，（3分）
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴CD=BE．（4分）

（2）△AMN是等边三角形．理由如下：（5分）
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD
∵M、N分别是BE、CD的中点，
∴BM=
1
2
BE=
1
2
CD=CN，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．（6分）
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形．（7分）
设AD=a，则AB=2a．
∵AD=AE=DE，AB=AC，
∴CE=DE．
∵△ADE为等边三角形，
∴∠DEC=120°，∠ADE=60°，
∴∠EDC=∠ECD=30°，
∴∠ADC=90°．（8分）
∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°，
∴CD=
3
a．
∵N为DC中点，
∴DN=
3
2
a，
∴AN=
DN2+AD2
=
(
3
2
a)2+a2
=
7
2
a．（9分）
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（
7
2
a）2=1：4：
7
4
=4：16：7（10分）

解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：（5分）
∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点，
∴AM=AN，NC=MB．
∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形，（7分）
设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，
易证BE⊥AC，
∴BE=
AB2-AE2
=
(2a)2-a2
=
3
a，
∴EM=
3
2
a，
∴AM=
EM2+AE2
=
(
3
2
a)2+a2
=
7
2
a，
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（
7
2
a）2=1：4：
7
4
=4：16：7．（10分）
练习册系列答案
相关题目
如图，△ABC为正三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=
1
2
AB，可得△D1E1F1，则△D1E1F1的面积S1=______；如，D2，E2，F2分别是△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
1
3
AB，则△D2E2F2的面积S2=______；按照这样的思路探索下去，Dn，En，Fn分别是△ABC三边上的点，且
ADn=BEn=CFn=
1
n+1
AB，则Sn=______．
如图所示，△ABC是等边三角形，BD是中线，DE⊥BC于E．若EC=2，则BE=（　　）
A．10B．8C．6D．4
等边△ABC中，边长AB=4，则△ABC的面积为（　　）
A．14B．8C．8
3
D．4
3
已知等边△ABC和三角形内一点P，设点P到△ABC三边的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．

（1）请写出h与h1、h2、h3的关系式，并说明理由；
（2）若点P在等边△ABC的边上，仍有上述关系吗？
（3）若点P在三角形外，仍有上述关系吗？若有，请你证明，若没有，请你写出它们新的关系式，并给予证明．
等边三角形的边长为8cm，则它的面积为______cm2．
如图，已知等边△ABC，AC=AD，且AC⊥AD，垂足为点A，则∠BEC的度数为______．
u图，AB=AC=AD=4ci，DB=DC，若∠ABC为6二度，则BE为______，∠ABD=______°．
如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC的面积为（　　）
A．5B．3.5C．2.5D．2

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