Question

7．如图，A、B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，A、B两个单位到街道的距离AC=48米、BD=24米，A、B两个单位的水平距离CE=96米，现准备修建一座与街道垂直的过街天桥．
（1）天桥建在何处才能使由A到B的路线最短？
（2）天桥建在何处才能使A、B到天桥的距离相等？分别在图1、图2中作图说明（不必说明理由）并通过计算确定天桥的具体位置．

Answer 1

分析 （1）如图1，在直线BD上截取BB′=DE，连接AB′，交CE于F，则点F就是天桥所建位置，依据是两边之和大于第三边；
（2）如图2，平移B点至B’使BB′=DE，连接AB′交CE于F，作线段AB′的中垂线交CE于P，在此处建桥可使A、B到天桥的距离相等；根据线段垂直平分线定理和平行四边形对边相等可得AP=BQ；
证明△ACF∽△POF，得$\frac{PF}{AF}=\frac{OF}{CF}$，设CP=x，代入计算可求出x的值，即CP=39米，得出结论．

解答 解：（1）如图1，平移B点至B′，使BB′=DE，连接AB′交CE于F，在此处建桥可使由A到B的路线最短；
此时易知AB′∥BG，
∴△ACF∽△BDG，
∴$\frac{AC}{CF}=\frac{BD}{DG}$，
设CF=x，则GD=96-x，
∴$\frac{48}{x}=\frac{24}{96-x}$，
解得x=64，
即CF=64米，
∴将天桥建在距离C点64米处，可使由A到B的路线最短；
（2）如图2，平移B点至B’使BB′=DE，连接AB′交CE于F，作线段AB′的中垂线交CE于P，在此处建桥可使A、B到天桥的距离相等；
此时易知AB′∥BQ，另OP为AB′中垂线，
∴△ACF∽△POF，
∴$\frac{PF}{AF}=\frac{OF}{CF}$，
设CP=x，则PF=CF-x，
由（1）得CF=64，
∴PF=64-x；
在Rt△ACF中，由勾股定理得AF=80，
∵AC∥BE，
∴$\frac{CF}{FE}=\frac{AF}{FB′}$=$\frac{64}{96-64}$=$\frac{2}{1}$，
∴FB′=40，
又O为AB′中点，
∴FO=20，
∴$\frac{64-x}{80}=\frac{20}{64}$，
解得x=39，即CP=39米，
∴将天桥建在距离C点39米处，可使由A到B的路线最短．

点评 本题是作图题，作最短路径和相等路径；根据是三角形两边之和大于第三边或两点之间线段最短来作图；本题的具体作法是：利用平移的方法将点A和B及天桥的始点移到同一直线上，运用了平行四边形的对边相等，也利用相似三角形对应边的比列式求出线段的长．