Question

4．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①△ABE≌△ADF；②∠AEB=65°；③CE=CF；④$\frac{BE}{EC}=\frac{1}{3}$；⑤S_{正方形ABCD}=2+$\sqrt{3}$．其中正确的序号是①③⑤（把你认为正确的都填上）．

Answer 1

分析 根据正方形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理判断①；根据三角形内角和定理判断②；根据全等三角形的性质和正方形的性质判断③；根据正弦的概念判断④；设正方形的边长为a，根据勾股定理求出a的值，计算正方形的面积，判断⑤．

解答 解：在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，①正确，；
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF=（90°-60°）÷2=15°，
∴∠AEB=75°，②错误；
∵△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，又BC=DC，
∴CE=CF，③正确；
∵sin∠BAE=$\frac{BE}{AE}$，∠BAE=15°，又sin15°≠$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BE}{AE}$≠$\frac{1}{3}$，即$\frac{BE}{EC}$≠$\frac{1}{3}$，④错误；
设正方形的边长为a，
在Rt△ECF中，CE=CF，EF=2，
∴CE=CF=$\sqrt{2}$，
则DF=a-$\sqrt{2}$，
在Rt△ADF中，AF²=AD²+DF²，
即4=a²+（a-$\sqrt{2}$）²，
解得，a₁=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，a₂=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$（舍去），
则a²=（$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$）²=2+$\sqrt{3}$，
∴S_{正方形ABCD}=2+$\sqrt{3}$，⑤正确，
故答案为：①③⑤．

点评 本题考查的是正方形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，等边三角形的三条边相等、三个角都是60°是解题的关键．